Анри Джергения родился в 1941 году в Ленинграде. Закончил школу в Сухуме, затем - юридический факультет Московского государственного университета. Работал в МВД Абхазии следователем, старшим следователем, затем - старшим следователем прокуратуры города Сухум. Был судьей, председателем Сухумского городского суда. С 1978 по 1992 годы - член Верховного суда Абхазии. С 1991 г. по 2002 г. Анри Михайлович Джергения был личным представителем председателя Верховного Совета Абхазии, а впоследствии Президента РА в процессе абхазо-грузинского урегулирования.

В 1992 году А.М.Джергения был автором квотного распределения депутатских мест в предвоенном парламенте. Сформированный на этом основании закон заложил основу для правового размежевания Абхазии и Грузии, значение которого существенно и в наши дни.

В качестве личного представителя принимал участие практически во всех переговорах с представителями России, Грузии, ООН, ОБСЕ и Группы друзей Генерального Секретаря ООН. Был одним из разработчиков Заявления о мерах политического урегулирования грузино-абхазского конфликта от 4 апреля 1994 года.

С июня 2001 по ноябрь 2002 года занимал пост премьер-министра Абхазии.

В 2004 году баллотировался на пост президента Абхазии.

После 2014 года, когда на президентских выборах победу одержал Рауль Хаджимба, Анри Джергения принял участие в ряде мероприятий Блока оппозиционных сил под предводительством партии «Амцахара».